Онлайн центр по проведению олимпиады "Сократ", игр и конкурсов по математике для школьников Метод решения хорош, если мы с самого начала можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц. "Opuscules"
Поздравляем всех участников Конкурса-плюс № 1 по решению логических задач!

Представленные на конкурс задачи оказались для вас достаточно простыми, большинство конкурсантов нашли верные ответы. Однако...

Остановлюсь на характерных ошибках, допущенных участниками конкурса.

Общие замечания
Замечания к задаче 1
Замечания к задаче 2

1. Немногие удержались от соблазна прибегнуть при решении задач к помощи иксов и игреков, нарушив тем самым основное условие конкурса – представлять к рассмотрению только арифметические решения задач.

В каждой игре (а математика – это игра, об этом мы уже беседовали) существуют определенные правила, несоблюдение которых недопустимо.

Никому из вас, к примеру, не придет в голову хватать мяч руками, играя в футбол (если Вы не вратарь).

Цель нашего конкурса – помочь вам научиться рассуждать, обосновывать свои действия, глубоко анализировать описанную в задаче ситуацию.

Алгебраический метод решения задач формализован, он сводится к переводу условия задачи на язык символов и последующему решению полученных уравнений.

По сути, алгебра – это инструмент, облегчающий решение задач.
Поэтому, развивая мышление, мы не должны пользоваться услугами алгебры (точно так же, как штангист в спортзале не станет использовать для подъема штанги полиспаст, или подъемный кран).

2. Некоторые конкурсанты приходили к решению путем частичного, либо полного перебора возможных вариантов.

Принципиально такой подход допустим при небольшом числе возможных решений. Однако, решая задачу подобным образом, мы должны убедиться, что найденное решение – единственное.

В противном случае некоторые решения могут быть утеряны (в следующих конкурсах обещаю развить эту тему).

В общем случае рекомендуется последовательно переходить от одной известной величины к другой (вспомним высказывание Льюиса Кэрролла!) вплоть до получения требуемого результата.

3. Никто из участников не последовал высказанному в условиях конкурса пожеланию не ограничиваться одним методом решения задачи.

Пожелание это рекомендуется учесть не только при выполнении конкурсных заданий, но при решении любой достаточно сложной и интересной задачи (и не только математической!).

4. Общее замечание всем участникам: обратите внимание на правописание и на правильность построения фраз.

Давайте, будем в процессе изучения математики совершенствоваться и в знании русского языка.

Перед тем, как приступить к решению задач второго конкурса, тщательно проанализируйте выполненные вами работы по первому конкурсу.

Советую сделать это в классе с преподавателем.

Задача 1. Товарный поезд

5. В некоторых решениях неверно определена средняя скорость движения поезда, что привело к ошибочному результату.

Под средней скоростью следует понимать такую постоянную скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы преодолеть данное расстояние за фактически затраченное время.

Иными словами, средняя скорость равна пройденному пути, деленному на затраченное на дорогу время.

Средняя скорость может быть равна среднему арифметическому скоростей на отдельных участках маршрута лишь в случае равенства продолжительностей движения с разными скоростями.

В нашем случае пройденное поездом расстояние составило 960 км, продолжительность движения – 14 часов, средняя скорость равна

Средняя скорость движения меньше среднего арифметического составляющих скоростей, поскольку время движения с меньшей скоростью больше, нежели с большей (при равенстве пройденных путей).

Решение задачи 1 с использованием средней скорости нерационально, однако вполне допустимо.

Для нахождения средней скорости движения поезда примем расстояние между пунктами А и В за единицу.

Продолжительность прохождения маршрута со скоростью 80 км/ч составит 1/80 (в условных единицах), со скоростью 60 км/ч – 1/60. Общая протяженность маршрута – 2 единицы. Средняя скорость на маршруте равна

Интересен и иной путь отыскания средней скорости, по аналогии с решением некоторых задач на смеси.

К примеру, в магазин поступили конфеты двух видов, цены которых различны, а стоимости равны. Продавец ошибочно смешал конфеты и теперь хочет продать их без убытка.

Для этого он устанавливает цену смеси таким образом, чтобы разности между ценой смеси и ценами конфет двух видов были пропорциональны ценам полученных конфет.

Например, получены конфеты по цене соответственно 80 и 120 рублей за килограмм. Стоимость конфет каждого вида – 960 рублей. Разделим разность (120–80) в отношении 80:120=2:3.

Требуемая цена смеси равна 120–24=80+16=96 рублей.

Убедимся проверкой, что найденная нами цена обеспечит продавцу безубыточную торговлю. Количество полученных конфет равно

Продав эти конфеты по цене 96 рублей за килограмм, продавец выручит 96 · 20 = 1920 рублей, т.е. ту же сумму, которую он бы выручил, продавая конфеты разных видов раздельно: 960 · 2 = 1920.

Отыщем среднюю скорость движения поезда, руководствуясь приведенным правилом. Разделим разность скоростей 80–60=20 в отношении 60:80=3:4.

Средняя скорость движения поезда равна

Смотрите алгебраическое и геометрическое обоснование указанного метода определения средней скорости.

6. Решив задачу, непременно проверьте правильность решения.

Некоторые участники конкурса, неверно определив среднюю скорость движения поезда, нашли, что расстояние между пунктами А и В равно 490 км.

В этом случае продолжительность движения из А в В составила бы

Общая продолжительность движения равна

что противоречит условию задачи.

7. Решая задачу 1, многие участники верно определили, что время прохождения некоторого маршрута обратно пропорционально скорости движения

(к сожалению, это правило не было четко сформулировано).

Однако лишь немногие участники определил длительность движения в каждом из направлений, разделив общую продолжительность движения в отношении 3:4.

Прочие конкурсанты сперва проверили вариант 3 часа и 4 часа, а затем выполнили корректировку.

Ответ к задаче № 1 можно посмотреть в каталоге занимательных задач.

Остановимся на задаче 2.

Задача 2. Головоломная задача на числа

8. Решая задачу 2, некоторые из участников совершенно резонно начали с разложения числа 210 на простые множители.

Однако затем почему-то начали проверять различные сочетания полученных сомножителей с целью получения в произведениях искомых последовательных натуральных чисел.

Процедура достаточно короткая, однако совершенно излишняя.

Следовало всего лишь заметить, что, коль скоро задача имеет решение, сгруппировать четыре сомножителя можно единственным способом: наибольший с наименьшим – одна группа, два средних по значению – другая.

Разумеется, затем необходимо проверить полученный результат и убедиться в том, что задача имеет решение.

9. Вопреки обещанию не рассматривать алгебраические решения конкурсных задач, хочу остановиться на одной характерной ошибке, допущенной при решении задачи 2.

Верно составив уравнение

некоторые из участников решили, что его корни

суть значения двух искомых величин.

Заметив, что по условию искомые числа - натуральные, эти участники заменили знак при

на положительный и получили «верное» решение.

На самом деле второй корень уравнения дает нам вторую пару чисел, также отличающихся на 1 и дающих в произведении 210 (–15 и –14), однако не отвечающих условию.

10. Решая задачу 2, некоторые участники верно установили следующий факт: если натуральное число представимо как произведение двух последовательных натуральных чисел,

то одно из этих чисел меньше корня квадратного из данного числа (и равно целой части корня квадратного), другое – больше.

Однако утверждение это – не аксиома, оно требует доказательства, которое легко провести методом «от противного».

Ответ по задаче №2 смотрите в каталоге задач занимательной математики

Ответ по задаче №3 смотрите в каталоге задач занимательной математики

Вернуться на главную страницу "конкурс-плюс"