www. math-on-line. com
Онлайн учебный центр, Математика олимпиады, игры конкурсы для школьников, 5-8 классы,учебные пособия, каталог, математика,геометрия, логика, комбинаторика, арифметика,алгера,олимпиада Кенгуру
наш email: info@math-on-line.com

Занимательная математика - школьникам

 главная // Форум школьников: обсуждаем логические задачи олимпиады Сократ. Тур №3, игра № 1 // Задача № 3  

Олимпиада "Сократ"

New! Друг пишет другу

Тренажерный зал

Внимание, конкурс!

New! Помощь олимпиаднику

Учебные пособия

O "math-on-line.com"

Рассылка

Логические задачи
для умников и умниц

Рассылки@Mail.ru
Логические задачи для умников и умниц

Голосование

 

Рекомендуем

Математика. Школа. БудущееМатематика
Школа
Будущее

Наши партнеры


Ozon.ru


Номера
задач :

задача 1

задача 2

задача 3

задача 4

задача 5

задача 6

Задача 6. Игры с кубиком

Я выкидывал игральный кубик
(кубик, на сторонах которого написаны числа от 1 до 6, причем, сумма чисел на противоположных сторонах всегда равна 7)

10 раз.
Призведение всех десяти выпавших чисел равно 7776.

Чему равна самая большая возможная сумма этих 10 номеров ?

(a) 25;  (b) 30;  (c) 35;  (d) 39;  (e) 41; 

Итоги дискуссии:

Правильный ответ: с = 35 очков (максимально возможноя сумма очков) .
Решение Any и Lenon-а:
Разложим 7776 на простые множители:
7776 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.
Мы получили 10 сомножителей или 10 возможных выпавших номеров. Их сумма равна:
2 · 5 + 3 · 5 = 25.
Поищем варианты с большей суммой.
Попробуем объединить некоторые сомножители друг с другом, восполняя убыль сомножителей дополнительным сомножителем, равным 1.
Например, вместо двух двоек можно написать 4 · 1.
Количество выпаданий осталось прежнее - два, а сумма очков увеличилась (стало 5, а было 4).
Три любых сомножителя, а также две тройки нам не удастся объединить, так как выпавший номер не может быть больше 6
(2 · 2 · 2 = 8, 3 · 3 = 9)
.
Итак, объединение двух двоек дает увеличение суммы очков на 1.
Осталось проверить единственный оставшийся вариант : объединить двойку и тройку: 2 · 3 = 6 · 1.
Сумма двух выпаданий теперь равна 6 + 1 = 7, вместо 5 (увеличение равно 7 - 5 = 2).
Мы видим, что нам выгоднее всего все двойки объединить с тройками.
Объединяем двойку с тройкой 5 раз, и получаем набор из 5 шестерок и единиц:
7776 = 6 · 1 · 6 · 1 · 6 · 1 · 6 · 1· 6 · 1 . Увеличение суммы выпавших номеров (суммы сомножителей) при этом будет: 2 · 5 = 10. В этом наборе сумма чисел наибольшая и равна 25 + 10 = 35.

Any
2007-01-22 11:16:12
Разложение на множители числа 7776=2*2*2*2*2*3*3*3*3*3. Если выпадет 3, должно выпасть 2. А если выпадет 1, должно выпасть 6. 2+3=5. 1+6=7. Значит - в наибольшей сумме должно быть пять шестерок и пять единиц. Сумма равна 35.

* * *

Lenon
2007-02-05 08:29:36
По-моему это не совесм правда. "Если выпадет 3, должно выпасть 2", почему? А если выпадет так: 4-4-6-3-3-3-3-1-1-1? "А если выпадет 1, должно выпасть 6" - это тоже не правда. Но в целом решение примерно такое, и ответ у меня такой же

* * *

Any
2007-02-05 09:35:12
Да, я и вправду забыла про то, что может выпасть 4. Но если выпадет 4, то выпадет и 1, 3, 3. Чтобы произведение сохранилось и количество множителей сохранилось. 4+1+3+3=11. А 6+1+6+1=14. Все-равно больше сумма, если будут выпадать только 6 и 1.

* * *

Lenon
2007-02-06 06:26:28
Может оно и так, но все-таки не понятно, откуда все это берется. Почему "если выпадет 4, то выпадет и 1, 3, 3"? И вообще, что это значит?...

* * *

Lenon
2007-02-06 06:32:46
"2+3=5. 1+6=7" - а это к чему? Кто сказал, что шестерок будет столько же, сколько единиц? "А если выпадет 1, должно выпасть 6" - допустим, это так, но почему если выпадет 1, то выпадет и 6? И почему не найдется еще таких примеров, когда твое решение не проходит?

* * *

Lenon
2007-02-06 06:55:56
В общем, как я понимаю, ты опираешься на 3 утверждения. 1)Если выпадет 3, должно выпасть 2. 2)если выпадет 1, должно выпасть 6. 3)если выпадет 4, то выпадет и 1, 3, 3. И ко 1 и 2 утверждениям у меня есть пример, когда они не верны. 1)4-4-6-3-3-3-3-1-1-1. Тройка выпала 4 раза, а двойка - ни одного. 2)4-4-2-3-3-3-3-3-1-1. Единица выпала 2 раза, а шестерка - ни одного. Для третьего у тебя какое-то странное обоснование: "Чтобы произведение сохранилось и количество множителей сохранилось". Сохранилось относительно чего? По сравнению с чем?

* * *

Lenon
2007-02-06 07:45:09
А у меня такое решение. Во-первых, как сказала Any, нужно разложить на простые множители число 7776 = 2^5 * 3^5. Из этого разложения понятно, что могли выпасть только числа 1, 2, 3, 4 и 6. Рассмотрим случай когда выпал следующий набор чисел: 2-2-2-2-2-3-3-3-3-3. Чтобы получить какой-нибудь другой набор из 10 чисел (такой набор чисел, который мог выпасть) так, чтобы произведение чисел осталось равно 7776, нужно некоторые числа заменить их произведением и добавить единицу, чтобы кол-во чисел в наборе не изменилось. Например, если в каком-то наборе есть 4, то нужно объединить две двойки и добавить в набор единицу. Единицу объенинять с какими-то числами, очевидно, не имеет смысла. Причем объединять мы можем не больше, чем 2 числа, т.к. если объединить даже 3 самых маленьких возможных числа (т.е. 3 двойки. Единицу, как было сказано, мы объединять не будем), то в произведении получим хотя бы 2*2*2 = 2^3 = 8, а на кубике числа, не большие 6. После объединения пары чисел и добавления единицы кол-во чисел в наборе и их произведение не изменятся. Также стоит заметить, что объединять таким образом можно только двойку с тройкой и двойку с двойкой. Таким способом мы сможем получить любой набор, причем с каждым таким объединением суммарное кол-во двоек и троек будет уменьшаться на 2, так как объединяем мы только двойки или тройки. Если объединить двойку с тройкой, то сумма чисел в наборе увеличится на 2, так как (2*3 + 1) - (2+3) = 7-5 = 2, а если объединить 2 двойки, то сумма чисел в наборе увеличится на 1, так как (2*2 + 1) - (2+2) = 5-4 = 1. Поэтому нам выгоднее объединять двойки с тройками, чтобы сумма была наибольшей. Изначально суммарное количество двоек и троек равно 10, поэтому объединений будет не больше 10 / 2 = 5, так как она уменьшается на 2 с каждым объединением. Как было сказано выше, объединять лучше двойки с тройками, чтобы сумма была наибольшей. Если объединить двойку с тройкой 5 раз, то получим ровно по 5 шестерок и единиц. В этом наборе сумма чисел наибольшая и равна 35. Ответ - 35(с)

* * *

Lenon
2007-02-06 07:46:50
Я постарался написать по-подробнее, но решение большое, так что если есть вопросы, лучше задавайте сразу, постараюсь ответить

* * *

2007-02-06 09:35:44
нет, я опираюсь на 3 другие утверждения. 1)Если выпадет 3, должно выпасть 2 или 4. 2)если выпадет 6, должно выпасть 1. 3)если выпадет 4, то выпадет и 1, 3, 3. Чтоб произведение было 7776 и чтоб было 10 множителей.

* * *

Any
2007-02-06 09:36:24
нет, я опираюсь на 3 другие утверждения. 1)Если выпадет 3, должно выпасть 2 или 4. 2)если выпадет 6, должно выпасть 1. 3)если выпадет 4, то выпадет и 1, 3, 3. Чтоб произведение было 7776 и чтоб было 10 множителей.

* * *

Any
2007-02-06 09:54:05
шестерок будет столько же, сколько единиц - такое я говорила, когда забыла про 4. Потом я исправила - единиц будет или столько же или больше, чем шестерок. 4+1+3+3=11. А 6+1+6+1=14 - это я сделала для того, чтоб узнать, в каком случае сумма будет больше.

* * *

Lenon
2007-02-06 09:56:22
Ого, так это уже совсем другое решение. И как тогда дальше?

* * *

Lenon
2007-02-06 09:57:00
А, понятно

* * *

Lenon
2007-02-06 10:00:50
То есть ты утверждаешь, что все выпавшие числа можно разбить на группы 4-1-3-3 и 6-1, правильно я понимаю?

* * *

Any
2007-02-06 10:11:04
Да, ты правильно мое решение понял. Я согласна и с твоим решением.

* * *

Lenon
2007-02-07 05:43:22
Кстати, а как ты распределяешь по группам двойки? Ведь двоек в группах 4-1-3-3 и 6-1 нет. "нет, я опираюсь на 3 другие утверждения. 1)Если выпадет 3, должно выпасть 2 или 4..." а как это понимать? Может, ты все-таки разделяешь числа на такие группы 4-1-3-3, 6-1, 3-2 и 3-4? Тогда не понятно, почему их можно так разделить.

* * *

Any
2007-02-07 09:06:39
Можно разделить на группы 4-1-3-3, 6-1, 2-3

* * *

Lenon
2007-02-07 09:57:52
Хорошо, но почему их можно всегда разделить на такие группы??

* * *

Any
2007-02-07 10:53:06
Произведение должно раскладываться на одинаковое количество двоек и троек. 4=2*2, надо добавить две тройки в эту группу. 6=2*3, уже есть 2 и 3 в шестерке.

* * *

Lenon
2007-02-13 01:24:29

* * *

Lenon
2007-02-13 01:27:39
Да, теперь почти понятно. Но все таки как ты распределяешь по группам единицы? "4=2*2, надо добавить две тройки в эту группу" - а почему в эту группу еще нужно добавить единицу?

* * *

Lenon
2007-02-13 01:33:02
И еще. Ты говоришь, что если есть 2*2 = 4, то в эту группу нужно добавить 2 тройки. А вдруг одна из троек будет в составе(т.е. в разложении на множители) какого-то другого числа? Ведь ты делишь на группы не множители числа 7776, а числа, которые выпали, когда мы кидали кубик. Это не одно и то же.

* * *

Any
2007-02-13 09:30:26
В каждой паре должна быть 2 и 3. В группе 6-1 уже есть в шестерке 2 и 3, значит надо добавить единицу, чтоб получилась пара чисел. В группе 4-3-3-1 есть две двойки и две тройки, нужна еще единица, чтоб получилось две пары чисел. Второй вопрос не понимаю, по условию на кубике ведь как раз выпадали множители числа 7776.

* * *

Lennon
2007-02-13 10:38:50
Неужели не понятно, что ты делишь на группы не ЧИСЛА, а МНОЖИТЕЛИ? Множители числа 7776. Ты доказываешь, что можно разделить на группы все эти множители. Но почему не получится такого, что у какого-то числа один множитель в одной группе, а 2й - другой?

* * *


.:: наверх ::.
Новости олимпиады "Сократ"

Олимпиада по математике Сократ
А где тут можно пройти прошлые туры Олимпиады "Сократ"?
Заходите в  тренажерный зал

 

Новости других соревнований


Конкурс ! Решаем логические задачи !

Конкурс № 5 и Конкурс-плюс №1 закончили свою работу.
Конкурс №5: Победители  Разбор полетов.
Конкурс-плюс №1: Победители   Анализ работ

Тренировочные игры перед олимпиадой:

Поздравляем победителей игры № 1 DuploiD-a и игры № 2 -elvin -а и всех участников игр в июне.-дек. 2006 г. !
Смотрите результаты игры 1 и игры 2 !

Советуем :

new!! Обучающие
игры и программы


Обучающая программа
Увлекательная обучающая игра для детей от 5 до 102 лет

Обучающая программа
Фантастический квест для детей - развитие мышления и логики

Обучающая программа
Увлекательная обучающая игра для детей 8-11 лет

 Все об олимпиаде "Сократ" |  Логические задачи |  Тренировочная игра |  Стать участником |  Сотрудничество |  Задачи "Кенгуру" |  Олимпиадная смесь |  Каталог задач |  Конкурс по математике |  Без алгебры |  Карта сайта |  О проекте |  Пишите нам |  Наши коллеги в Интернете |

Rambler's Top100 Каталог сайтов femina.com.ua