Дорогие ребята!

С интересом слежу за вашими успехами. Радует азарт, с которым вы беретесь за решение достаточно сложных задач.

Ведь математика - это, в сущности, игра, а какая же игра без азарта!

Интересно, что в поисках решения вы порой предвосхищаете теоретический материал, знакомство с которым, в соответствии со школьной программой, состоится для большинства участников конкурсов не ранее, чем через 2-3 года.

На одной из таких задач, а именно, на задаче по мотивам крыловского "Квартета", мне хочется остановиться.

Вы совершенно верно подметили, что число способов, которыми можно разместить участников квартета, составляет 24 или 4! (читается 4 факториал).

Для тех, кому еще незнакомо это понятие, поясню: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n; иначе говоря, факториал некоторого натурального числа равен произведению последовательных натуральных чисел от единицы и до данного числа включительно.

Отдавая дань вашей сообразительности, замечу, что метод перебора вариантов обладает серьезным недостатком.

Для случая четырех участников ансамбля достаточно просто обозначить все варианты их размещения.

Однако представим себе, что Крылову захотелось (возможно, для рифмы) ввести в состав ансамбля еще одного участника (скажем, слона), расширив ансамбль до квинтета.

В этом случае попытка перебрать возможные варианты размещения музыкантов оказалась бы весьма трудоемкой.

Попытаемся найти метод решения подобных задач для любого числа участников.

Способ 1.
Присвоим посадочным пенькам номера 1, 2, 3, 4. Первой садится мартышка, она может выбрать любой из четырех пеньков.

Вторым садится осел. При любом выборе мартышки у него остается три возможности.

Итого число возможных взаимных положений мартышки и осла равно 4 · 3 = 12.

На долю третьего участника квартета - козла при любом выборе первых двух участников остается два свободных места;

число способов, которыми могут усесться три участника, равно 4 · 3 · 2 = 24.

Мишке выбирать не приходится, для него осталось одно место.

Итак, число способов, которыми можно рассадить на поляне незадачливых музыкантов, равно 4 · 3 · 2 · 1 = 4 ! = 24.

Этот метод может быть использован при любых размерах ансамбля.

Пусть в ансамбле n музыкантов, соответственно имеется n пеньков.

Садящийся первым имеет n возможностей на выбор,

число возможностей второго на 1 меньше, третьего - на 2 меньше и т.д. вплоть до последнего, которому выбирать не приходится.

Итого число вариантов равно n · ( n - 1) · (n - 2 ) · ... 3 · 2 · 1 = n !

Способ 2.
Этод способ применим, когда важно лишь взаимное расположение участников, но места не оговорены.

Садящийся первым имеет одну возможность - его выбор не лимитирован.

Второй может сесть либо справа от первого, либо слева - две возможности.

Для каждого из размещений первых двух участников третий может усесться тремя способами:

справа, посредине, либо слева. Число взаимных размещений первых трех участников составит 1 · 2 · 3.

Четвертый в любом случае имеет на выбор 4 места: два по краям и два в промежутках. Итого число вариантов равно 1 · 2 · 3 · 4 = 4! = 24.

Доказательство того, что найденная формула справедлива и для n участников (т.е. число возможных взаимных расположений равно n! ), может быть получено методом математической индукции.

Познакомимся с этим методом. Для n =1 существует одна возможность, формула верна.

Предположим, формула верна для n = k (т.е. число вариантов взаимного расположения k участников составляет k ! );

докажем, что в этом случае она верна и для n = k + 1.

Действительно, если k участников уселись, то k + первый имеет на выбор k + 1 вариант - 2 места по краям и k - 1 место в промежутках.

Итого число вариантов размещения k + 1 участника равно k! · ( k + 1 ) = ( k + 1 ) !

Таким образом, из того, что формула верна для n = 1 , следует, что она верна для n = 2 , из того, что она верна для n = 2 , следует, что она верна для n = 3 и т.д.