www. math-on-line. com
Онлайн учебный центр, Математика олимпиады, игры конкурсы для школьников, 5-8 классы,учебные пособия, каталог, математика,геометрия, логика, комбинаторика, арифметика,алгера,олимпиада Кенгуру

Занимательная математика - школьникам

 главная // Ответы школьников на логические задачи . Тур № 1, игра № 2. Герои форума  


Поиск ответов к логическим задачам

Онлайн центр по проведению олимпиады "Сократ", игр и конкурсов по математике для школьников




"Я занимался до сих пор решением ряда задач, ибо при изучении наук примеры полезнее правил." Ньютон. Всеобщая арифметика.
Форум № 1.2
школьников по поиску ответов к логическим задачам олимпиады по математике "Сократ". Тур № 1, игра № 2.
( ноябрь-декабрь 2005 г.)

Детский Форум, цель которого была - рассекретить ответы к задачам игры № 2 Первого тура олимпиады "Сократ", объявляется закрытым.

Причина закрытия простая - все логические задачи этой игры обрели авторов своих решений.

И пришло время назвать героев Форума. Герои :

  • кто первый дал правильный ответ и обосновал его;
  • кто отвечал на вопросы товарищей и понятно объяснял решение;
  • кто подарил свое видение решения, которое открывает что-то новое в известном уже решении.

На сей раз героями этого Форума стали участники :

SKA, Lenon, Дементьев, Анастасия, Аgronom, Коля Рулевский и Олег.

Читаем, как все это было :

Ответы к логическим задачам игры № 2:

Первая задача :

каждому из трех слонов в зоопарке принесли по корзине яблок. Если каждый слон съедает свои яблоки за 3 минуты, то три слона съели яблоки за:

(A) 9 мин.;  (B) 3 мин.;  (C) 2 мин.;  (D) 1 мин.
 

- задача по существу на внимание.

Все участники Форума продемонстрировали, что со вниманием у них все в порядке и дали правильный ответ -"В".

Первым в ясной и лаконичной форме этот ответ сообщил участник, назвавший себя SKA : "За 3 минуты 3 слона съедят каждый свою корзину яблок. Ответ - 3 минуты".

Казалось бы, все сказано и добавить больше нечего.

Но ведь у нас не обычный Форум, а Форум сократовцев, умеющих мыслить.

И участникам Форума захотелось поделиться своими мыслями. И каждый из них добавил что- то новое, свое видение, и вся картина стала намного богаче.

Так, Анастасия подчеркнула, что "неважно, сколько было слонов, главное, что каждый съел корзину яблок за три минуты".

Участник Форума Коля Рулевский добавил еще один важный штрих : "Так как слоны ели яблоки одновременно, то время от количества слонов не зависит".

А вот Олег предложил рассмотреть эту задачу как частный случай более общей задачи. Задачи, в которой число слонов не совпадает с числом корзин.

Тогда время поедания яблок будет зависеть от количества корзин, приходящихся на одного слона и скорости поедания яблок (при условии, что все едят с одинаковой скоростью, что у нас выполняется).

Из слов Олега можно сделать вывод, что в общем случае знать количество слонов все-таки надо, чтобы узнать, сколько досталось каждому.

Подсчитав по своей формуле, Олег получил все те же 3 минуты.

Отметим еще один , шутливый ответ на эту задачу, участницы Насти. Она предложила перебрать все варианты ответов. И, конечно же, она подтвердила правильный ответ.

Но мы понимаем, что сначала она решила эту задачу саму по себе, без оглядки на варианты ответа ( вот так и надо делать). А проверить все остальные ответы решила ради шутки.

Вторую задачу :

на прямой линии посажено 11 кустов так,
что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же.
Найдите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм.
(A) 8 дм.; (B)  8,5 дм.; (C) 9 дм.; (D) 11 дм.
тоже правильно решили все участники Форума.

Все сошлись на мнении, что между 11 кустами имеется 10 промежутков, а т.к. все промежутки имееют одинаковую длину

(на важность этого факта обратила внимание всех Анастасия), то расстояние между кустами - 9 дм и правильный ответ : "С".

Олег придал этой задаче более общий вид, и даже написал формулу: расстояние между кустами равно частному от деления расстояния между крайними кустами на количество кустов за вычетом единицы.

И этим подчеркнул, что очень важно не забыть вычесть единицу.

Третья задача:

Таракан Вася заявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин.
Ему не поверили, и правильно:на самом деле Вася всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд.

С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает Таракан Вася?
(A)18м/мин.; (B)  20 м/мин.; (C) 25 м/мин.;  (D) 30 м/мин.

интересна тем, что учит переходить от одних единиц к другим. В нашем случае надо было перейти от "Тараканьих" метров и минут к "общечеловеческим".

Большинство участников назвало правильный ответ, но ясно объяснить не получалось и представление о задаче не складывалось, несмотря на то, что все пытались объяснить ее друг другу.

И вдруг выступил Lenonи все стало ясно.

Прежде всего Lenon задумался над вопросом, как Таракан Вася получил свою ошибочную величину скрости 50м/мин ?

Lenon предположил, что, видимо, сначала Вася измерил пробегаемый им путь в см, а затраченное время - в сек.

И Вася получил правильную величину скорости V см/сек (нам пока неизвестную).

Но он решил эту правильную скорость V см/сек, перевести в м/мин.

А что для этого сделал Вася ? Он величину V см/сек разделил на 60 (ведь он думал, что в 1 м содержится 60 см), а полученную величину он умножил на 100 (он же думал, что в минуте 100 сек) и получил число 50.

А вот нам теперь надо произвести обратные действия : 50 умножить на 60, потом разделить на 100 и мы получим V (см/сек)= 30 см/сек. Эта Васина реальная скорость.

Ну, а перевести ее в м/мин Lenon-у и нам с вами ничего не стоит и мы получим 18 м/мин.

По следам выступления Lenon-а можно выстроить и такой сценарий действий Васи.

Сначала Вася измерил свой путь в метрах, но пользовался не нашим обычным измерительным интструментом - метром, а укороченным, длиной всего лишь 60 см.

А время он измерял секундомером, имеющим не 60 делений, а 100.

Пользуясь такими негодными инструментами, он и получил ложную скорость 50м/мин.

Но мы легко переведем ее в "нормальные" см/сек, если умножим 50 м/мин на 60 см/м и разделим на 100сек/мин. Получим опять 30 см/сек и переведем ее уже в "нормальные" м/мин.

Первым правильный ответ по этой задаче (ответ "А") сообщил SKA , но в обсуждении активно участвовали все, все старались объяснить друг другу ее решение.

Четвертую задачу:

площадь треугольника ABC равна 40 кв. см,
длина линии AD составляет 1/4 часть от стороны AB, а длина EC - 1/3 от стороны BC.
Чему равна площадь затененной области DEC ?

(A) 6 кв. см.;  (B) 8 кв. см.;  (C)9 кв. см.;  (D)10 кв. см.
правильно решил и первый объяснил ее участник Форума - Дементьев.

Проделав несколько дополнительных построений, он установил, что :
площадь Δ-ка DЕC составляет 1/4 часть от площади большого Δ-ка АВС и правильный ответ- "D".

Участник Форума Аgronom обошелся без дополнительных построений.
Сначала он подвел прочную теоретическую базу под свое решение.

Аgronom увидел, что угол B является общим для трех Δ-ков: BDE, BDC и BAC. И тогда он решил использовать очень подходящую к этому случаю теорему :

площадь Δ-ка равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Отсюда он сделал вывод : отношение площадей двух Δ-ов имеющих равный угол, равно отношению сторон, примыкающих к этому углу (так как синусы сокращаются). Отсюда,

  • площадь Δ-ка BDC = 3/4 от ABC ( так как DB составляет 3/4 AB, а сторона BС у них одинаковая)
  • площадь Δ-ка ВDE = 1/2 от ABC (так как DB составляет 3/4 AB, а сторона BE составляет 2/3 от BC, т.е. 3/4 · 2/3 = 1/2).
  • искомая площадь Δ-ка DEC = (3/4 -1/2) · 40кв.см. = 10 кв.см.
К таким же выводам можно придти, если рассмотреть :
  • два Δ-ка : DBC и ABC, имеющих общую высоту Сk, и известное соотношение сторон,
  • и два других Δ-ка : DBC DEC, имеющих общую высоту Dh, и известное соотношение сторон.
Пятая задача :
инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды есть три планеты: А, Б, В.
Сами они живут на второй планете.

Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оба оказались ложными:
а) А - не третья планета от звезды; б) Б - вторая планета.

Какие утверждения совпадают с теми выводами, которые вы сделали из анализа этой ситуации:

(a) первая планета - Б, а живут инопланетяне на В;
(b) первая планета - В, а живут инопланетяне на Б;
(c) первая планета - А, а живут инопланетяне на Б;
(d) первая планета - Б, а живут инопланетяне на А;
- классическая логическая задача, из тех, которую должен уметь решать каждый культурный человек.

SKA открыл дискуссию по этой задаче на Форуме. Он подверг анализу 4 утверждения (a, b, c, d - варианты ответов) на предмет выяснения их ложности.

А в качестве критериев ложности он использовал два утверждения, переданные инопланетянами ( их ложность установили ученые).
Так, SKA установил, что истинное утверждение и, следовательно, ответ задачи - "а".

Другой участник Форума - Дементьев, подтвердил правильность ответа - "а". Но шел к ответу он своим путем.

Из двух явно ложных утверждений ("а" и "б") Дементьев построил три истинных :

  • А - третья планета;
  • Б - первая планета;
  • В - вторая планета.
После этого он сделал вывод, что только "а" - правильный ответ.

Anastasia тоже избрала путь поиска истины путем отрицания ложных высказываний инопланетян.

И даже обнаружила аналогию с решением логической задачи из игры №1, где этот метод помог решить задачу.

Олег также пришел к правильному ответу, анализируя только ложные высказывания инопланетян и делая выводы из этого анализа.

Шестую задачу :

пловец потерял под мостом флягу, но заметил это только через 3 мин.
Повернув назад, он догнал флягу в 100 м от моста.
Определите скорость течения на этом участке реки.
(A) 6 км/час;  (B) 3 км/час;  (C) 2 км/час;  (D) 1 км/час;
 
очень хорошо объяснил участник Форума, который назвал себя SKA .

Он предложил скорость пловца измерять относительно воды. В этой движущейся системе отсчета (сам термин "система отсчета" предложил, очень удачно, позднее Олег) пловец отдаляется от фляги и приближается к ней с совершенно одинаковой скоростью.

Поэтому, если он удалялся от фляги 3 мин, ему понадобятся на возвращение к ней те же 3 мин.

Следовательно, пловец догнал флягу через 6 минут после потери. В условии задачи известно, что флягу за это время отнесло течением на 100 м .

Следовательно, скорость течения 100 м : 6 мин · 60 мин : 1000 м = 1 км/час. Верный ответ - "D".



На этом успешно закончился второй в истории интернет-олимпиады школьников "Сократ" детский Форум по поиску ответов к логическим задачам.


Дорогие ребята ! Надеемся, что Вам понравилась и сама олимпиада "Сократ"и детский Форум по поиску ответов.

Надеемся на длительное и плодотворное сотрудничество.

А между тем Регистрация на Второй тур Олимпиады Сократ уже началась.

Основатель и руководитель он-лайн центра интернет-соревнований - Игорь Ульяновский;

Редактор сайта www.math-on-line.com" - Эстер Махтингер;
Консультант он-лайн центра по задачам - Виктор Романовский.


.:: наверх ::.
"; include("../include/menu_right2.html"); echo "

"; include("../include/menu_right4.html"); echo "

"; ?>

"; include("../include/schet.html"); ?>